基底変換 対角化
- ある基底(都合の悪い基底)で,$ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right) $という座標が与えられているとする.
- 行列$A$をかけて,$ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right) $が座標変換された先の座標$ \left( \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right) $を求めたいとする.
- 座標変換前の座標が$ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right) $,
座標変換後の座標が$ \left( \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right) $である. - すると,以下の式で表せる:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array}
\right)
= A
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
\end{equation}. - しかし,このままでは基底のとり方が悪いため,そのまま計算はしたくない.
- そこで,基底変換行列$P$をかけて,座標$ \left( \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right) $を都合の良い基底に変換することを考える.
つまり,式(1)に対して,両辺左から行列$P$をかければよい. - すると,以下の式のようになる:
\begin{equation}
P
\left(
\begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array}
\right)
=
P
A
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
\end{equation}. - しかし,これでは,式(2)の右辺を見ればわかるように,
座標$
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
$を都合の良い基底に変換できていない. - そこで,$ P^{-1}P=E $であるから,式(2)は以下のように表しても問題ない:
\begin{equation}
P
\left(
\begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array}
\right)
=
P
A
P^{-1}
P
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
\end{equation}. - これで,両座標とも,都合の良い基底に変換される.
- ここで,都合の良い基底に変換されたあとの両座標を
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
u'\\
v'\\
\end{array}
\right)
=
P
\left(
\begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array}
\right)
,
\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'\\
\end{array}
\right)
=
P
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
\end{equation}
とおく. - 式(4)を用いると,式(3)は以下のようになる:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
u'\\
v'\\
\end{array}
\right)
=
P
A
P^{-1}
\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'\\
\end{array}
\right)
\end{equation}. - 式(5)において,$PAP^{-1}$は,行列$A$の固有値(ここでは,$eigenvalue_A$と表記する)を並べて以下のように対角化できる:
\begin{equation}
P
A
P^{-1}
=
\left(
\begin{array}{cc}
eigenvalue_A & 0\\
0 & eigenvalue_A
\end{array}
\right)
\end{equation}. - 以上より,式(6)を式(5)に代入して,最終的に以下の式が得られる:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
u'\\
v'\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
eigenvalue_A & 0\\
0 & eigenvalue_A
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'\\
\end{array}
\right)
\end{equation}. - 式(7)は,都合の良い基底であるため,$
\left(
\begin{array}{c}
u'\\
v'\\
\end{array}
\right) $ は容易に求めることができる. - あとは,都合の良い基底で求まった座標$\left(
\begin{array}{c}
u'\\
v'\\
\end{array}
\right) $を元の基底(都合が悪かった基底)での座標に戻してやれば,最初に求めたかった座標がわかる.